一、什么是BARRA模型？为什么需要BARRA？

1.1 为啥要多因子？

BARRA模型发展的起因是，旧有的CAPM模型（单因子模型）不足以解释股票收益的绝对收益、超额收益及风险与波动。

CAPM模型的主要公式：

$$
股票收益=无风险利率+\beta\cdot市场组合收益
$$
这样的模型不能解释一些现象，例如：
- 小市值股票长期收益更高（规模因子）；
- 低估值股票长期收益更高（价值因子）；
- 近一段时间涨的多的股票更容易继续涨（动量因子）；
- ……
于是，与其使用单个因子解释预期收益与风险，不如用一堆因子，这也就是因子库的思想。

BARRA是一整套商业化的风险因子体系与模型，大致包括：

BARRA主体回归模型用数学公式描述是这样的：

$$
r_i=\alpha_i+\sum_{k=1}^K{\beta_{i,k}f_k}+\varepsilon_i
$$

其中：

BARRA的作用主要分为三个部分：

风险分析：
- 构建的投资组合在各个因子上的暴露有多大？
- 总波动率里，有多少来自市场 / 风格因子 / 个股特质？
组合构建：
- 做风格因子的构建；
- 控制行业中性、市值中性；
- 总风险不能超过某个水平；
- 诸如此类会使用BARRA的因子暴露和协方差矩阵来做优化。
绩效归因：也就是过去一个月策略多赚 / 少赚的那部分收益：
- 是因为押对了价值因子？
- 还是因为押对了动量因子？
- 还是只是因为个股的特质收益？
- ……

CAPM的本质是一个单因子线性模型，而BARRA将其推广到了多因子模型：

$$
r_i=\alpha_i+\sum_{k=1}^K{\beta_{i,k}f_k}+\varepsilon_i
$$

写成向量和矩阵形式是这样的：对N只股票，在某一期t，我们有：

$$
r_t=\alpha+B_tf_t+\varepsilon_t
$$

其中：

这样的模型结构，实际上是将N只股票的收益分解为基准收益、因子收益与个股特质收益三个部分。基准收益可以理解为无风险收益，因子收益则是由这些因子带来的超额收益，而个股特质收益则是这些因子解释不了的，和个股密切相关的收益。

传统资产定价里面，经常是有一些因子收益序列（如Fama-French的三因子模型中的多空组合收益作为因子收益序列），去回归每只股票的$\beta$。这样的做法偏向于解释旧有的收益率，但BARRA更偏向于实务，也就是去预测收益率，所以BARRA的做法和这类做法刚好反过来。它的实施步骤是：

所以，BARRA是使用“已知的暴露+横截面回归”来估计因子收益的框架。

在BARRA这个风险模型中，最重要的不是分解收益、看收益来源，而是控制风险的模型。假设：

于是有经典分解：

$$
\Sigma_r=Var(r)=B\Sigma_fB^T+D
$$

其中：

BARRA会用历史的$f_t$序列去估计$\Sigma_f$，用残差序列估计D，加上各种平滑、收缩、稳健处理，得到一个干净、稳定的协方差矩阵。这个协方差矩阵可以：

本期的内容大致如上，后一期继续更新：

以上。